Respuesta a "Equivocación por partes"

Ante todo, gracias a los que me avisasteis de que había un signo cambiado en el enunciado; ése no era el error (hubiera sido muy aburrido), y ya fue corregido.

El cálculo que se hace es válido, pero falta la constante de integración: cuando escribimos el símbolo de integral sin límites y aplicamos las reglas usuales (integración por partes, cambio de variable...) se sobreentiende que estamos hablando de la integral indefinida y que cualquiera de esos métodos puede emplearse para calcular una de las primitivas de una función; lo que no nos dicen es cuál. A veces, aplicando estos métodos de forma distinta podemos llegar a primitivas distintas (que difieren en una constante), y eso es lo que ocurre es este caso.

En la respuesta de Norberto López se dice esto de forma algo distinta:

En mi opinión, tal error no existe. Teniendo en cuenta que la integral indefinida es un conjunto de funciones (NO NÚMEROS) cuyas derivadas es la función integrada, es fácil ver que la solución que se obtiene en el enunciado es correcta. Basta tomar la derivada de la expresión para obtener la función tangente original. Es decir, la presencia del -1 no supone ningún problema, ya que la solución "verdaderamente correcta" es -1 + Int(tan x)+ C, donde C es la constante de integración que se ha omitido a lo largo del proceso, e Int toma el papel del símbolo de la integral. En este caso, el sumando -1 puede "omitirse" incluyéndolo en la constante de integración, y así verificarse la igualdad.

Federico Zapata lo explica de forma parecida:

No existe realmente ninguna equivocación en el argumento. Lo que ocurre es que cuando se escribe el símbolo de la primitiva lo que estamos representando no es una función que al derivarla nos dé la original, sino una familia de funciones que verifican esa propiedad. además, como bien sabemos, todas las funciones de esta familia se diferencian unas de otras en una constante. En esencia, decir "la familia de funciones que la derivarlas den tg(x)" y decir "-1 + dicha familia" es lo mismo. La idea del fallo es que no podemos simplificar tg(x) en ambos miembros pues no se trata ni de números ni de funciones, sino de conjuntos de funciones. Los dos miembros de la igualdad son iguales pero como conjuntos, pues si la derivada de una función f es tg(x) , la derivada de f - 1 también es tg(x) y viceversa. No es la única situación en que una integral se puede calcular de varias formas dando como resultados funciones distintas, pero que se diferencian en una constante.

Las primeras respuestas correctas recibidas fueron de Alberto Pagán Lima, Norberto López Magariño, Miguel Espinosa Galicia, "Myself", Rem y Sergio López Goikolea. ¡Gracias a todos los que habéis escrito!

Una observación común en las respuestas es que el error está en que alguna de las funciones que se usan para la integración por partes no es biyectiva; sin embargo, en el enunciado usual de este método no es necesario que ninguna de ellas lo sea (tal vez el error viene de que en algunos enunciados del método de cambio de variable sí se pide que una de las funciones sea biyectiva; sin embargo, esto es un detalle técnico que no es fundamental, y que sólo es necesario cuando en algún momento necesitamos usar su inversa). De hecho, el método de integración por partes es en esencia una forma de escribir la regla de la cadena, que es válida para funciones derivables, sin más. Otras respuestas dicen que el error está en usar la función 1/cos(x), que sólo está bien definida cuando cos(x) no es cero, de forma que el cálculo no puede hacerse (o hay que tener más cuidado con él) sin especificar el intervalo del que estamos hablando. Esto es cierto: el enunciado tiene una imprecisión aquí, pero puedes pensar en un intervalo cualquiera donde cos(x) no se anule (digamos entre -pi/2 y pi/2, sin incluirlos) y la pregunta ahí sigue siendo válida.

Por cierto: en el momento de escribir esto, el artículo de la Wikipedia en español que trata los métodos usuales de integración está menos completo que los correspondientes en inglés que he citado antes, y en todos ellos hay cosas que no están muy claras. Si te gusta la idea, tal vez quieras ayudar a mejorarlos un poco.

Has caído en el agujero.
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